فصل 5 :اصل گسترش و اعداد فازی : 1-5 اصل گسترش در ریاضیات معمولی یکی از مهمترین ابزارها تابع می باشد.تابع یک نوع رابطه خاص می باشد رابطه ای که در نمایش زوج مرتبی عنصر اول تکراری نداشته باشد.معموال تابع را با یک ضابطه نمایش. تابع مانند یک سیستمی است که x را بعنوان ورودی دریافت می کند و y=f(x) میدهیم مثال f(x)=2x+1 بعنوان خروجی حاصل می شود. اگر 2=x ورودی تابع f(x) باشد آنگاه y=f(2)=5 خواهد بود. اکنون فرض کنید ورودی تابع مجموعه ی فازی باشد مثال "تقریبا " 2 ورودی تابع فوق باشد خروجی آن نیز باید یک مجموعه ی فازی باشد. برای تابع فوق خروجی تقریبا 5 خواهد بود. را در نظر بگیرید وقتی Ã یک مجموعه فازی روی X و ورودی باشد می خواهیم خروجی آن تابع f:x Y یعنی f(ã) را بدست آوریم.این کار را با اصل گسترش انجام می دهیم. اصل گسترش : فرض کنید f تابعی از X به Y باشد و Ã یک مجموعه ی فازی روی Y باشد آنگاه f(ã) نیز مجموعه فازی است که به صورت زیر بدست می آید: Ã باشد.اگر f(x)= f:x IN و X={-2,-1,0,1,2} فرض کنید مثال : تابع با ضابطه ی مجموعه فازی روی X باشد f(ã) را بدست آورید Ã= حل : ابتدا باید مقادیر y را بدست آورد سپس میزان عضویت آنها یعنی( f(a)(y را محاسبه کرد. 1
y=f(x)={0,1,4} f(ã)= برای y=1 f(a)(1) طبق اصل گسترش به دست می آید. f(a)(1)= max{ A(x): f(x)=1 } = max{ A(-1),A(1) } = max{ 0.7,0.8 } =0.8 x= (1) مثال : فرض کنید f(x)=2x+1 وÃ مجموعه فازی زیر باشد f(ã) را بدست آورید Ã= حل : مقادیر x را در تابع قرار داده وy را بدست می آوریم. و( f(ã به صورت زیر می باشد f(ã)= در این مثال Ã مجموعه فازی "حدودا " 2 می باشد و مقدار تابع مجموعه فازی "حدودا " 5 می باشد.در شکل زیر اصل گسترش برای مجموعه های فازی با تابع عضویت پیوسته نمایش داده شده است. 2
مثال : فرض کنید Ã مجموعه فازی با تابع عضویت A(x) باشد و y=f(x)= باشد f(ã) را بدست آورید حل : ابتدا x را بر حسب y به دست می آوریم یعنی )y( را مشخص می کنیم.سپس طبق اصل گسترش f(a)(y) را بدست می آوریم. y= f(a)(y)=sup[a(x): x= = سایر اصل گسترش تعمیم یافته )اصل گسترش چند متغیره( : y فرض کنید تابع f تابعی از به باشد و مجموعه فازی روی باشد آنگاه )f به صورت زیر خواهد بود. f( = در واقع در حالت چند متغیره ابتدا ضرب دکارتی را به دست آورده سپس با توجه به فرمول فوق مقدار تابع را محاسبه می کنیم. )f = yو مثال : فرض کنید و مجموعه های فازی زیر باشند ( )f را بدست آورید. 3
حل : ابتدا را بدست می آوریم. س سپ ) y=f( را محاسبه میکنیم. f( )= بعنوان نمونه f(a,b)(2)= max{ min( A(-1),B(1)), min(a(0),b(2)), min(a(1),b(1)) }= max{0.3,0.7,0.4}= 0.7 از اصل گسترش دو متغیر برای انجام عملیات ریاضی روی اعداد فازی استفاده میکنیم. اعداد فازی: بسیاری از پدیده های کمی با یک عدد مطلق وصریح قابل نمایش نمی باشند.مثال وقتی قیمت خودرویی سؤال 0::2 میشود پاسخ میشنویم 22 تقریبا میلیون یا در جمله "من حدودا ساعت عصر به منزل رسیدم" زمان به صورت مبهم بیان شده است.در آزمایشگاه های مختلف اغلب اعدادی که به دست می آیند بصورت تقریبی می باشد.در همه ی این موارد میتوان از اعداد فازی استفاده کرد.معموال به مفاهیم مبهم که دارای اصطالحاتی مانند تقریبا حدودا نزدیک به...باشد مجموعه های فازی نسبت داده میشود که در اصل عدد فازی می باشند. اعداد فازی در تصمیم گیری استدالل تقریبی شبکه عصبی فازی کنترل فازی و... استفاده می شود. مثال گزاره ی زیر مربوط به یک کنترل کننده ی فازی می باشد: - اگر درجه حرارت اتاق تقریبا 02 باشد آنگاه قدرت چرخش موتور کولر زیاد خواهد بود. 4
تعریف : به مجموعه ی فازی Ã با تابع عضویت ( A(xعدد فازی گفته میشود هر گاه دارای خواص زیر باشد: Ǝ! مجموعه فازی Ã محدب باشد. تک نرمال باشد یعنی قطعه وار پیوسته باشد..1.2.: مثال : تابع عضویت زیر مربوط به یک عدد فازی می باشد. تابع عضویت مثلثی می باشد لذا محدب است و =(3)A 1 و پیوسته نیز می باشد.این تابع عضویت مربوط به ) می باشد. تقریبا : یا عدد فازی : یعنی ( حال با توجه به اصل گسترش می توان اعمال روی اعداد فازی را انجام داد.مثال برای kبرابر کردن عدد فازی با تابع عضویت ( m(xطبق اصل گسترش تابعy=f(x)=kxرا در نظر میگیریم. ) ) fهمان kخواهد بود که تابع عضویت آن با جایگزینی به جای xدر ( m(xبدست می آید. مثال : دو برابر را در مثال قبل بدست آورید که تابع عضویت حاصل مربوط به می باشد. مثال : فرض کنید و اعداد فازی با توابع عضویت زیر می باشند را بدست آورید 5
برای محاسبه جمع دو عدد فازی باید از اصل گسترش دو متغیره استفاده کرد اگر f(x,y)=x+yباشد آنگاه = ) f( بنا براین که به صورت زیر نمایش داده میشود با انجام عملیات فوق داریم: در حالت کلی اگر و دو عدد فازی با تابع عضویت m(x) و n(x) باشند آنگاه:,, تذکر: تابع عضویت های زنگوله ای شکل نیز میتواند تابع عضویت عدد فازی باشند مانند m(x)= که نمایش دهنده ی صفر فازی می باشد یا حتی ترکیبی از خطی و زنگوله ای شکل نیز میتواند تابع عضویت عدد فازی باشد مانند شکل زیر: m 6
انجام عملیات ریاضی روی اعداد فازی با استفاده از اصل گسترش کمی پیچیده وطوالنی می باشد به همین علت یک قالب کلی برای همه ی اعداد فازی تعریف شد و با این نمایش و استفاده از اصل گسترش عملیات ریاضی به چند فرمول ساده تر تبدیل شد.نمایشLR توسط دبیرس- پراد مطرح شد. نمایش LR عدد فازی : فرض کنید یک عدد فازی با تابع عضویت m(x) باشد نمایش LR آن بصورت زیر است: که در آن L,R توابعی با خواص زیر میباشد. پیوسته باشند. L(0)=1, R(0)=1 غیر صعودی باشند. R(x)=R(-x), L(x)=(-x).1.2.:.0 از جمله توابعی که برای L,R میتوان استفاده کرد عبارتند از max{0,1-x}, 1- p, در این صورت عدد فازی را با نمایش می دهیم. m عدد مورد نظر α پهنای باند چپ β پهنای باند راست L تابع سمت چپ R تابع سمت راست می باشد. مثال : عدد فازی با فرض و دارای تابع عضویت زیر L(x)=1- x می باشد. 7
عملیات روی اعداد فازی : LR فرض کنید دو عدد فازی باشند -1 جمع : (m, +(n, 2- ضرب اسکالر دو عدد فازی : :- ضرب دو عدد فازی : -0 تفریق : (m, مثال :دو عدد فازی را در نظر بگیرید.که در آن L(x)=R(x)=1- x حاصل و را به دست آورید 8
عدد فازی مثلثی : به عدد فازی که شکل تابع عضویت آن مثلثی باشد عدد فازی گفته می شود.در نمایش LR اعداد فازی اگر x -1 دو برابر ( L(xهر,R(x) باشند عدد فازی مثلثی حاصل می شود. m اعداد فازی مثلثی را با سه تایی ( a,m,b )نیز نمایش می دهند که در آن نماینده ی اعداد aنقطه شروع bنقطه پایان می باشد یا به عبارت دیگر بازه ی ( a,b )تکیه گاه عدد فازی خواهد بود.اگر باشد یعنی عدد فازی متقارن با شد عدد فازی را به صورت ( a,b )نمایش می دهند که mنقطه وسط a,bمی باشد. فرض کنید جمع : و دو عدد فازی باشند : + تفریق : قرینه : -(m)=( مثال : 9
α- برش اعداد فازی بازه می باشد.پس می توان عملیات روی اعداد فازی را با عملیات روی بازه بدست آورد. 11
عملیات روی بازه ها : اگر ]b, a[ و ]d, c[ دو بازه باشد آنگاه [a,b]+[c, d] = [a +c, b +d] [a, b]-[c, d] = [a-b, b-c] [a, b].[c, d] = [min (ac,ad, bc, bd), max (ac,ad,bc,bd)] [a, b] [c, d] = [min(, به شرطی که روش α- برش برای عملیات ریاضی : در این روش ابتدا α- برش اعداد فازی را بدست می آوریم سپس با استفاده از عملیات روی بازه ها عملیات روی α- برش ها را بدست آورده و با اصل تجزیه α- برش ها را به مجموعه فازی تبدیل می کنیم. فرض کنید عدد فازی مفروض باشد در این صورت α- برش آن به صورت زیر است. با α- برش های اعدا فازی برای ضرب عملیات بصورت زیر می باشد: 11
m, توجه : در اعداد فازی α- برش ها بازه می باشند پس برای تبدیل بازه ها به عدد فازی مثلثی کافی است α- - برش در برش ها را به ازای صفر همان تکیه گاه می باشد. محاسبه کرد. α - برش در 1 همان ارتفاع مجموعه فازی و - پس اگر نقطه ارتفاع m باشد و برش به ازای همان بازه [ a,b ]باشد آنگاه عدد فازی ( a,m,b )خواهد بود. مثال : جمع دو عدد فازی را بدست آورید بازه فازی : یک بازه ی فازی مجموعه فازی ذوزنقه ای شکل می باشد. 12
نمایش LR آن به صورت زیر می باشد برخی بازه فازی را نیز عدد فازی در نظر می گیرند و تحت عنوان عدد فازی ذوزنقه ای یا عدد فازی مسطح مورد بررسی قرار میدهند. بازه های فازی برای مفاهیم متوسط گونه استفاده میشوند. 13